Биргер родился 30 ноября 1993 года в нефтяной столице Норвегии Ставангере. Свои первые шаги в большой футбол начал в молодежной Академии местного «Викинга».

В июле 2013 года молодой норвежец прибыл на просмотр в резервную команду «Мидлсбро», проведя за нее несколько товарищеских матчей, в которых проявил себя с самой лучшей стороны. 

2 августа Биргер в присутствии своего отца подписал с «Боро» свой первый профессиональный контракт. Тренер резервного состава «речников» Джейми Клэпхэм так прокомментировал это событие: «Мы очень рады, что Биргер присоединился к нам. Он  успешно проявил себя в ходе предсезонной подготовки, и мы все надеемся, что он добьется успеха в нашем клубе».

На протяжении сезона 2013/14 Мелинг являлся твердой частью резервной обоймы «Боро», однако совершить рывок в первую команду ему так и не удалось. 16 мая было официально объявлено о том, что он был выпущен из клуба по окончании своего действующего контракта.